Chapter 3 - Real Functions of a Real Variable

3 Real Functions of a Real Variable Dr.L. DERBAL 35

3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Bounded functions, monotonic functions . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Odd, even, periodic function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.1.3 Algebraic operations on functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.4 Limit of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.5 Limit theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.6 Operations of Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.2 Continuity of a function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.1 General de…nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.2.2 Operations on continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.3 Continuity of composition function . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.2.4 The Intermediate Value Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.5 Uniform Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3 Derivable function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.1 De…nition and properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.3.2 One-sided derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3.3 Operations on derivative functions: . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.3.4 Derivative of usual functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.5 The nth derivative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

3.3.6 Hôspital’s Rule: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

3.4 Elementary functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.1 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

3.4.2 Exponential function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.4.3 Logarithm function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

3.4.4 Logarithm function of any base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

3.4.5 Power function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

3.4.6 Hyperbolic functions and their inverses . . . . . . . . . . . . . . . 78